Terminal velocity

Ya casi tenía terminado un post sobre el bautizo al que me invitaron el fin de semana pasado, pero mientras platicaba ayer con unos amigos, surgió un debraye que me dejó pensando un rato. Iván organizó una reunión de media semana con la excusa de presumirnos la excelente vista de Manchester que tiene desde el onceavo piso donde vive. Además de Iván, andaban por ahí Héctor y Juan. Héctor y Juan son estudiantes de doctorado en ciencias computacionales e Iván de economía. Imagínense, cuatro estudiantes doctorales mexicanos tomando cerveza en un undécimo piso. Nada bueno podía salir de esa reunión. Un rayo bien colocado hubiera hecho maravillas por el futuro de la humanidad.

En un determinado momento, Héctor propuso lo siguiente:

– Supongamos que disparamos una bala desde aquí, con una trayectoria completamente perpendicular a la superficie de la tierra. Una vez que se le acabe el impulso y empiece a caer, ¿la velocidad final de la misma será la misma que la velocidad con la que salió de la pistola?
– No -dije yo- al alcanzar su altitud máxima, la bala habrá perdido toda su energía cinética. Se detendrá un instante en el aire y entonces la velocidad con la que caiga va a depender enteramente de su energía potencial, básicamente de su masa.
– No- terció Juan- los objetos caen a la tierra con la misma velocidad independientemente de su peso.
– Cierto…
– Pero bueno, – insistió Héctor – aquí la pregunta es si va a bajar con suficiente velocidad como para matarte.
– Ahí va a depender de su velocidad terminal, – respondí – que básicamente es un equilibrio entre la velocidad por la aceleración de la gravedad y las fuerzas boyantes del medio (digamos, la resistencia al aire). Casi todos los problemas de cinemática de la prepa no consideran la resistencia del aire.
– Bueno, manda al diablo la resistencia del aire.- continuó el buen Héctor- Supongamos que cae en el vacío.
– En tal caso, se aceleraría infinitamente. – dije.
– No, – replicó Juan – no puede acelerarse más que la aceleración de la gravedad terrestre.
– Verdad.

La discusión continuó por ese estilo y al final Héctor no estaba convencido de por qué, si todos los cuerpos caen a la misma velocidad independientemente de su masa, es más probable morir si te cae un elefante encima que si te cae una piedra (lanzados ambos desde la misma distancia desde el piso). A esas alturas concluímos que era más probable morir por una piedra, pues sería muy difícil subir un elefante hasta el mentado onceavo piso. Olvidamos el asunto y nos dedicamos a jugar cartas y comer queso Red Leicester.

Y sí, me quedó la duda al respecto y hoy en la mañana, mientras me servía mi cereal, recibí la iluminación (muy al estilo de xkcd). Si bien, todos los cuerpos caen a la tierra con la misma velocidad, la energía cinética al momento de alcanzar su velocidad terminal es proporcional a la masa del proyectil. De hecho, ¡la velocidad terminal del objeto depende de la masa del mismo también!

Supongamos al proyectil suspendido en el aire en el momento justo en que se le acabó el impulso dado por el arma. En ese instante una sumatoria de fuerzas sobre el cuerpo libre nos arroja lo siguiente:

F=mg- qv^2

Donde m es la masa del objeto y g, la aceleración de la gravedad. q es la fuerza de arrastre del medio (que depende de la densidad del medio, el cuadrado de la velocidad del proyectil relativa al medio y el coeficiente de arrastre [que creo que se tiene que determinar experimentalmente, pero que para un coche está entre 0.25 y 0.45]) y v es la velocidad del objeto cayendo. Total, ya despejada, la velocidad terminal está dada por:

terminal velocity

(ro es la densidad del medio, A es el área de contacto con el medio, y Cd es el coeficiente de arrastre antecitado). Como quien dice es la relación entre fuerzas inerciales y boyantes. ¡El asunto aquí es que la velocidad terminal de un objeto cayendo depende directamente de su masa! Entonces, ¿dónde está el error? Los objetos caen con la misma velocidad independientemente de su masa, ¿no?

Detengámonos un momento y veamos nuevamente la ecuación de la velocidad terminal. Hay un término faltante si es que se utiliza para calcular cuál será la velocidad final de un objeto que cae. En efecto, la altura no aparece. Y no aparece porque la velocidad terminal es la velocidad máxima que puede alcanzar un objeto cayendo en un fluido. Para calcular la velocidad de un cuerpo cayendo desde cierta altura (despreciando la fuerza de arrastre, claro) se puede usar directamente la fórmula cinemática del movimiento uniformemente acelerado que no tiene un término para considerar la masa. Eso sí, la velocidad calculada no puede exceder la velocidad terminal. De hecho, si no consideramos la fuerza de arrastre, el objeto regresará al lugar de donde salió con la misma velocidad con la que salió, de acuerdo al principio de conservación de la energía. Así que sí, Héctor, tenías razón, la bala (teóricamente) regresará con la misma velocidad a su punto de partida, mientras despreciemos la fuerza de arrastre del aire.

Pero ya me desvié mucho. Sea cual sea la velocidad del proyectil cayendo (bala, piedra o elefante), la energía liberada sí es directamente proporcional a la masa del objeto, de acuerdo con la fórmula de la energía cinética.

Así, suponiendo dos objetos cayendo a la misma velocidad, el objeto más masivo (el elefante, digamos) tendrá una mayor energía cinética en el momento del impacto y ésta será transferida casi en su totalidad al pobre iluso que, distraído, volteó hacia arriba cuando le gritamos “¡Aguas!”.

Y hasta aquí, aunque en principio sería interesante pensar cuánta energía se disipa durante el choque y qué tan importante es el material del proyectil en el momento del impacto… Basta, ya peyotié mucho.

Darth Tradd
Grosvenor Street
Manchester, UK

12 thoughts on “Terminal velocity

  1. ¿En serio utilizaste la palabra boyante en una conversación? Sí que había alcohol de por medio.

    Besos.

    P.D. ¿La revelación llegó justo en ese estilo? Me alegra que hayas acabado tan bien la noche.

  2. En efecto, eso dije. Fuerzas boyantes. Fue culpa de la combinación de la cerveza blanca y el queso rojo.

    Besto hasta México.

    P.D. No, no fue exactamente en ese estilo. Llegó mientras vaciaba la leche en mi cereal y vi las hojuelas moverse en el líquido. Mi noche, claramente, no terminó tan bien.

  3. No se por donde empezar pero me voy a contentar por decir por el momento que… My friend, you have some issues.

    Ya esta, a tu VIVA solo tienes que llevarte un galon de leche y un tazon con cereal para la inspiracion.

    PD. no se adonde te habran llevado Juan y Hector despues de que se fueron :S

  4. Iván, tristemente es cierto. I’ve got issues. Yo creo que fue la combinación de la cerveza blanca, el queso rojo y el onceavo piso. Por cierto, Héctor y Juan se regresaron para tu departamento, ¿no?

    Martucha, ya no me acordaba de ese desmadre de los chocorroles. Fueron un par de chocorroles y una XX Lager los que me hicieron dar el mejor discurso de mi vida, ¿verdad? ¡Qué tiempos aquellos! Eramos jóvenes e inocentes. Un abrazo, Marthita.

  5. Chocorroles y XX Lager… interesante. Yo pienso darte mousse de chocolate y vino cuando vengas. Tendré una grabadora a la mano para conservar el momento para la posteridad.

    Beso.

  6. Grimalkin, la combinación de mousse de chocolate y vino puede ser peligrosa. Me parece buena idea lo de la grabadora, luego se pierden momentos irrepetibles y valdría la pena transcribirlos. Besto.

    En efecto, Juan, fue una combinación rara. ¡Y vaya que estuvo divertido! Por otro lado, a pesar de que perdí estrepitosamente a las cartas, me queda el consuelo de que Héctor se quedó con 190 puntos arriba. Con eso me siento satisfecho 😀

  7. Oye soy estudiante de ingeniería petrolera de méxico, tu explicación de la velocidad terminal me sirvio mucho para una practica de cinematica, gracias cabron…!!!

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